segunda-feira, 5 de abril de 2010

Polinómio

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Gráfico de um polinômio de grau 5

Em matemática, funções polinomiais, polinómios (português europeu) ou polinômios (português brasileiro) são uma classe importante de funções simples e infinitamente diferenciáveis. Devido à natureza da sua estrutura, os polinómios são muito simples de se avaliar e por consequência são usados extensivamente em análise numérica.

Índice

[esconder]

[editar] História

Determinar as raízes de polinómios, ou "resolver equações algébricas", é um dos problemas mais antigos da matemática. Alguns polinômios, tais como f(x) = x2 + 1, não possuem raízes dentro do conjunto dos números reais. Se, no entanto, o conjunto de candidatos possíveis for expandido ao conjunto dos números imaginários, ou seja, se se passar a tomar em conta o conjunto dos números complexos, então todo o polinómio (não-constante) possui pelo menos uma raiz (teorema fundamental da álgebra).

Existe uma diferença entre a aproximação de raízes e a determinação de fórmulas concretas que as definem. Fórmulas para a determinação de raízes de polinómios de grau até ao 4º são conhecidas desde o século XVI (ver equação quadrática, Gerolamo Cardano, Niccolo Fontana Tartaglia). Mas fórmulas para o 5º grau têm vindo a escapar aos investigadores já há algum tempo. Em 1824, Niels Henrik Abel provou que não pode haver uma fórmula geral (envolvendo apenas as operações aritméticas e radicais) para a determinação de raízes de polinómios de grau igual ou superior ao 5º em termos de coeficientes (ver teorema de Abel-Ruffini). Este resultado marcou o início da teoria de Galois, onde se aplica a um estudo detalhado das relações entre raízes de polinómios.

[editar] Definição (caso real)

Para a sucessão de termos a_0,...,a_n \in \mathbb{R} (ou \mathbb{C}) com a_n \ne 0, um polinómio de grau n (ou também função racional inteira) é uma função que possui a forma

f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0\,

Alternativamente, o polinómio pode ser escrito recorrendo-se à notação sigma

f(x)=\sum_{v=0}^n a_v x^v\,

Os números a_0 \cdots a_n são denominados de coeficientes do polinómio e o termo a0 de coeficiente constante, ou termo independente.

Cada elemento somado avxv do polinómio é denomidado por termo. Um polinómio com um, dois ou três termos é chamado de monómio, binómio ou trinómio respectivamente.

Em relação ao grau, os polinómios podem ser classificados como a seguir:

  • grau 0 - polinômio constante;
  • grau 1 - função afim (polinômio linear, caso a0 = 0);
  • grau 2 - polinômio quadrático;
  • grau 3 - polinômio cúbico.
  • ...
  • grau n - polinômio de grau n.

Pode-se estender a definição de polinómio para incluir f(x) = 0, chamado polinômio nulo. O polinômio nulo não possui grau definido.

Uma equação polinômica obtem-se quando o polinômio é igualado a zero, ou seja:

f(x)=\sum_{v=0}^n a_v x^v\ = 0.

Desta forma podemos falar em raízes do polinômio f(x) e encontrar os valores de x que tornam a igualdade verdadeira, isto é, busca-se a raíz do polinômio f(x) que é um valor de x tal que torne f(x) = 0. Um número que satisfaz uma equação polinômica é chamado de número algébrico. Por exemplo: \sqrt{2} é algébrico e valida o polinômio x2 − 2 = 0 pois (\sqrt{2})^2-2=0.

[editar] Definição (genérica)

A definição acima de um polinómio com coeficientes reais (ou complexos) pode ser generalizada para polinómios com coeficientes em estruturas algébricas mais gerais. O resultado é o anel de polinômios.

Seja (A, +, \times)\, um anel. Então podemos considerar o conjunto A[x]\, das funções a: \mathbb{N} \to A\, que tem suporte finito, ou seja, para as quais o conjunto \{ n | a(n) \ne 0 \} \, é finito. Essas funções representam os coeficientes do polinómio (notar que a_n\, é uma forma de se escrever a(n)\,).

O objetivo é escrever uma soma e um produto neste conjunto, de forma que as seqüências do tipo (k, 0, 0, ...) funcionem como os escalares, e a seqüência do tipo (0, 1, 0, ...) funcione como o x dos polinómios.

A definição de a \oplus b\, e a \otimes b\, é feita pelos seus coeficientes, ou seja:

(a \oplus b)(n) = a_n + b_n\,
(a \otimes b)(n) = \Sigma_{i = 0}^n {a_i \ b_{n-i}}\,

Deve-se observar que as duas definições fazem sentido, pois a soma e o produto destas séries tem suporte finito.

Falta provar os axiomas de anel para (A[x], \otimes, \oplus)\,, o que é fácil mas trabalhoso, e que a função

\pi: A \to A[x]\,

definida por:

\pi(k)_0 = k\,
0\," src="http://upload.wikimedia.org/math/3/7/2/37250bb41227d6f1d4faafad685cab52.png">

é um isomorfismo entre A e \pi(A)\,.

Isso mostra que A pode ser visto como um sub-anel de A[x]\,.

Se o anel A possui identidade multiplicativa, então definindo x como a função:

x_0 = 0\,
x_1 = 1\,
1\," src="http://upload.wikimedia.org/math/f/7/8/f781a68a761bb3be28577197d474afe4.png">

verifica-se que os elementos de A[x]\, são todos da forma a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n\,.


[editar] Notas

[editar] Tópicos de interesse

[editar]

Postado por ¢l£ydyan£....:) BLOG ESCOLAR às 11:06

0 comentários:

Postar um comentário

Assinar: Postar comentários (Atom)
Love is...
© cl£ydyan£ - Template by Blogger Sablonlari - Font by Fontspace